Afkoeling en opwarming van een fles met vloeistof

Rini van Dongen

Soortelijke warmte en warmtecapaciteit.

Een koude wijnfles of bierfles neemt warmte op uit de omgeving. De hoeveelheid warmte die daarvoor nodig is wordt uitgedrukt in joules (uit te spreken als ZJoels,  symbool: J). De toegevoerde warmte verhoogt de temperatuur en daarmee de energie van de moleculen van een stof. Die energie kan bestaan uit trillingen, uit beweging en uit rotatie. De hoeveelheid warmte om één gram water één graad (Celsius) te verwarmen is ongeveer 4,19 J. We noemen de energie per eenheid van massa van een zekere stof nodig om de temperatuur met één graad te laten stijgen, de soortelijke warmte van die stof, cg met als eenheid joule per kilogram per graad. In plaats van de graad Celsius gebruiken we dan de kelvin (K). De temperatuur in kelvin is de temperatuur in graden Celsius (° C) +273,16. Afgekort is de eenheid van soortelijke warmte dan J/(kg·K). De wijnfles bestaat uit wijn (vloeistof) met soortelijke warmte cv en glas,  met soortelijke warmte . Als de massa vloeistof mv is en de massa glas mg, dan is de hoeveelheid warmte nodig om de fles met inhoud 1 °C  (of 1 K = 1 kelvin, dat maakt niet uit) te verhogen gelijk aan C = mvcv + mgcg. We noemen C de warmtecapaciteit van de fles met vloeistof  met als eenheid J/K.

Warmteoverdracht.

Om te kunnen begrijpen wat het fysische principe is achter de opwarming van een wijnfles of een bierfles moeten we eerst drie verschillende mechanismen van warmteoverdracht leren kennen:

Warmtegeleiding

Onder invloed van temperatuurverschillen geven moleculen energie aan elkaar door, door onderlinge botsingen of doordat ze krachten op  elkaar uitoefenen. Zelfs als vaste stof, vloeistof of gas niet bewegen, kan op deze manier warmte worden doorgegeven. Het gemak waarmee dat gaat wordt uitgedrukt in een materiaaleigenschap, de warmtegeleidingcoëfficiënt, met als symbool “l”. De definitie wordt gegeven door een plakje materiaal te nemen met dikte “d” waarover een temperatuurverschil ΔT, uit te spreken als “delta T”, bestaat. De warmtestroom per eenheid van dwarsoppervlak, de warmtestroomdichtheid of warmteflux, met grootte “q”, is dan :

q = l·ΔT/d                                                                 (1)                              
           
Het teken van q wordt zo gekozen dat warmte stroomt van hogere naar lagere  temperatuur.       

De eenheid van λ is: W/(mK), ofwel watt per meter per kelvin. De grootheid l is een materiaaleigenschap en wordt warmtegeleidingcoëfficiënt genoemd. Waarden voor l kunnen worden opgezocht in boeken over warmtetransport. Lucht is een slechte warmtegeleider (kleine l ), metalen zijn hele goede warmtegeleiders (grote l ).

Warmteoverdracht door stroming (convectie)

Als je lucht blaast over een lepel met hete soep, dan wordt de warme lucht boven de lepel steeds vervangen door koelere omgevingslucht. Het laagje boven de lepel waarover de temperatuur afneemt wordt veel dunner en de warmteflux groter. Hier werken stroming en geleiding samen. De stroming zorgt ervoor dat de geleiding gemakkelijker gaat. Stroming wordt ook wel convectie genoemd. Convectie kan opgelegd zijn, zoals bij het blazen over de lepel, of door een ventilator, een blower of in een brander. We spreken dan van warmteoverdracht door gedwongen convectie. De convectie kan ook een gevolg zijn van de zwaartekracht. De lucht rond de wijnfles is kouder en daardoor zwaarder dan de omgevingslucht. Er ontstaat dan een naar beneden gerichte stroming rond de wijnfles. We noemen een dergelijke stroming vrije of natuurlijke convectie. Ook in dit geval helpt de stroming de warmtegeleiding. Het heet nu: warmteoverdracht door vrije convectie.

De warmteflux aan het oppervlak van de fles wordt nu beschreven met een zogenoemde waardeoverdrachtcoëfficiënt “h”:

q = h·ΔT                                 [ eenheid: J/(s·m2) ]          (2) 

met opnieuw de tekenafspraak dat warmte stroomt van hoge naar lage temperatuur.
Als het over een vrije convectie gaat, dan hangen we aan “h” de index “vc”. Bedenk wel dat h geen materiaaleigenschap is maar afhankelijk van het soort probleem dat je beschouwt. Je kunt dan ook niet zonder meer h-waarden vinden in tabellen. Om h te vinden kun je soms gebruik maken van proefondervindelijke (empirische) verbanden of correlaties.

Warmteoverdracht door straling

De warmte van een hete kachel of pan of radiator kun je van redelijk grote afstand voelen. Alle voorwerpen stralen warmte uit. Soms is dat in de vorm van zichtbaar licht, zoals bij de zon, of bij een gloeilamp, maar meestal is dat in de vorm van onzichtbare langgolvige straling in het infrarood. Hoe hoger de temperatuur, des te meer straling wordt uitgezonden. Voor een voorwerp met temperatuur T wordt de straling redelijk weergegeven door de volgende wet:

qvoorwerp= e·σ·T4                [ J/ (s·m2) ]          

waarbij T de temperatuur is in kelvin, σ (uitgesproken als sigma), de constante van Stefan-Boltzmann en e de emissiecoëfficiënt. De emissiecoëfficiënt hangt af van de aard van het oppervlak. Zo hebben vetvrije gladde metaaloppervlakken vaak een lage emissiecoëfficiënt (ongeveer 0,1), terwijl geverfde oppervlakken, maar ook hout en glas vrijwel zwarte stralers zijn, d.w.z. een emissiecoëfficiënt dicht bij de waarde 1 hebben. Voor een perfect “zwarte” straler geldt per definitie: e = 1.

Aangezien een voorwerp zich in een omgeving  bevindt zal er ook warmtestraling plaats vinden vanuit de omgeving naar  het voorwerp. Dit resulteert dus in een warmtestroom:

q =  qvoorwerp   - qomg.  = e σ ( T4 - Tomg.4)                       (3) toelichting note [1]

Als het temperatuurverschil tussen voorwerp en omgeving relatief klein is, dus indien

|T - Tomg.|<<T, dan kan de stralingswet worden vereenvoudigd tot:

   4 e σ T3 (T - Tomg.).                                               (4) afleiding[2]

zodat we dan een waardeoverdrachtcoëfficiënt voor straling kunnen invoeren:

hstr = 4 e σ T3                                                                    (5)

Voor een zwarte straler bij kamertemperatuur is hstr ongeveer 5 W/(mK).

Opwarmtijd

Stel nu dat de warmteoverdracht van de fles naar de omgeving bestaat uit vrije convectie en straling. Stel verder dat temperatuurverschillen binnen de fles zijn te verwaarlozen. Stel verder dat de warmtecapaciteit “C” van fles met inhoud bekend is. Voorts veronderstellen we vergelijking (5) van toepassing. De totale warmtestroom van fles met oppervlak “S” is dan op ieder moment:

(hstr + hvc) S (Tomg.T).                         (6)                                                            

De toename van de temperatuur van de fles voldoet aan de energiebalans, die stelt dat de toename van de energie van de fles (in de vorm van warmte) per eenheid van tijd, in formule uitgedrukt als: C·(dT/dt), gelijk moet zijn aan de warmte die aan de fles wordt toegevoerd zoals gegeven in formule (6). We krijgen daarmee de differentiaalvergelijking:  

C dT/dt = (hstr + hvc) S (Tomg.T).                            (7) voor afleiding klikverloop

We kunnen deze vergelijking vereenvoudigen door het invoeren van de tijdconstante τ (tau) die gedefinieerd is als volgt:

τ = C / (S (hstr + hvc)) =  C / S htot),                                     (8)

met htot = hstr + hvc.                                                                               

De vereenvoudigde vergelijking is dan:

τ·(dT/dt) = (Tomg.- T).                                                            (9)

Dit is een eerste orde differentiaalvergelijking. Indien de begintemperatuur van de fles met inhoud T0 is, is de oplossing:

T = T0 + (Tomg.T0) e (-t/τ).                                            (10)

Dit is een exponentiële functie met als karakteristieke tijd τ gegeven door uitdrukking (8).

Correlaties

We zullen zien dat bij onze wijnfles zowel de warmteoverdracht door straling en de overdracht door vrije convectie belangrijk zijn. Gedwongen convectie speelt meestal wel een beetje mee. Wat tocht of luchtcirculatie door de verwarming van de kamer kunnen al snel de warmteoverdracht met vele procenten verbeteren. Om een schatting te maken van de waardeoverdrachtcoëfficiënt voor vrije convectie maken we gebruik van een correlatie voor een verticale cilinder met hoogte H en diameter D zoals die gegeven is in het boek van Bejan (A. Bejan, Heat Transfer, Wiley, 1993), uitgewerkt voor lucht bij kamertemperatuur:

hvc H/ λl = 0,5488 Ra0,25 + 5,65· H/D.                                (11)

Hierbij is λl de warmtegeleidingcoëfficiënt van lucht bij de omgevingstemperatuur en is Ra het kental van Rayleigh dat is samengesteld uit het temperatuurverschil ΔT, de valversnelling (versnelling van de zwaartekracht) g, de thermische uitzettingscoëfficiënt β (bèta) , en de luchteigenschappen kinematische viscositeit ν (nu) en warmtediffusiecoëfficiënt a. De definitie is:

Ra = g β ΔT H3/ (νa).                                                    (12)

Met uitdrukkingen (11) en (12) kunnen we schatten wat de bijdrage van vrije convectie in de warmteoverdracht zou kunnen zijn.

Gegevens

               Constanten en eigenschappen lucht bij 293 K:

               Valversnelling g = 9,81 m2/s
              
Warmtediffusiecoëfficiënt a = 2,08 10-5 m2/s
              
Kinematische viscositeit ν =  1,50 10-5 m2/s
              
Warmtegeleidingcoëfficiënt λl = 0,0256 W/(mK)
              
Uitzettingscoëfficiënt lucht βl:  1/T = 3,14 10-5 K-1

               Andere fysische eigenschappen:

              Soortelijke warmte water cv: 4182 J/(kg K)
              Soortelijke warmte glas cg:    800 J/(kg K)
             
Emissiecoëfficiënt glas e:   0,94
              
Emissiecoëfficiënt aluminiumfolie e:  0,1
              Constante van Stefan-Boltzmann σ =   5,67 10-8 W/(m2 K4)

Gegevens  bierflesje:  
Diameter:  0,06 m  
Diameter hals:

0,033 m

 
Hoogte hals: 0,08 m  
Hoogte fles: 0,13 m  
Extern oppervlak fles S: 0,0328 m2  
Massa vloeistof in fles mv: 0,3 kg  
 Massa glas mg: 0,246 kg  
Warmtecapaciteit water Cv: 1254 J/K  
Warmtecapaciteit glas Cv: 197 J/K  
Totale warmtecapaciteit C: 1451 J/K  

Uitkomsten schattingen voor bierflesje:

     
hstr (e = 0,94): 5,04 W/(m2 K)  
hstr  (e = 0,10): 0,54 W/(m2 K)  
hvc: 5,03 W/(m2 K)  
htot (glas, e = 0,94): 10,1 W/(m2 K)  
 htot (Al-folie, e = 0,1): 5,57 W/(m2 K)  

Uitkomsten metingen voor bierflesje:

Uit de gemeten afkoeltijd τ kan met vergelijking (8) en de gegevens de totale empirische waardeoverdrachtcoëfficiënt worden afgeleid. Voor het bierflesje vinden we waarden tussen 8,3 en 10,0 W/(m2K). Dat is gemiddeld dus iets minder dan de geschatte waarde van 10,1 W/(m2K). Dat kan worden verklaard doordat het bierflesje bij de proef op een tafel stond, zodat de koude luchtstroming aan de voet van het flesje stagneert. Daarvan mag een verslechtering van de warmteoverdracht worden verwacht. Een proef waarbij het flesje op een sokkel werd geplaatst gaf een duidelijk verhoogde overdracht te zien.    

Uit de berekening volgt dat voor het proces van opwarming van de fles vrije convectie en straling ongeveer ven belangrijk zijn. Om dat ook experimenteel na te gaan zijn enige experimenten gedaan waarbij aluminiumfolie om het flesje werd gewikkeld. Dat moet heel zorgvuldig gebeuren, anders heeft het weinig effect. Voorkomen moet worden dat het folie kreukt en dat er een vetlaagje op komt door contact met de huid. Gevonden is dat de afkoeltijd met een factor 1,53 toenam, dus een duidelijk effect, maar toch minder dan  de factor 1,8 (= htot,glas/htott,al-folie) uit de schattingen.  In ieder geval is met het experiment bevestigd dat straling belangrijk is, en dat het mogelijk is om de straling te verminderen.                

              

                              

Meetopstelling
De metingen zijn uitgevoerd met een eenvoudige usb compatible dataloggerunit met k-termokoppels en ingebouwde koudelas compensatie. Met een probe werd gelijktijdig de omgevingstemperatuur gemeten t.b.v. evt correcties.
xx

 



[1] De gesloten omgeving waarin een voorwerp zich bevindt gedraagt zich als een zwarte straler (emissie- en absorptiecoëfficiënt. zijn dan  beide = 1 ). Voor het voorwerp geldt dat de spectrale emissie- en absorptiecoëfficiënt. aan elkaar gelijkgesteld kunnen worden aangezien het temperatuurverschil uitgedrukt in kelvin relatief klein is.

 

[2]  ( T4 - T omg.4) = ( T2 - Tomg.2) × ( T2 + Tomg.2) = (T - Tomg.) × ( T + Tomg.) × ( T2 + Tomg.2) = 4T3 × (T - Tomg.) waarbij omdat T3 ongeveer gelijk is aan Tomg × T2  en  T × Tomg.2 en  Tomg.3aangezien T in kelvin wordt uitgedrukt : 293 bij kamertemperatuur

 

               

               

AhaFysica
home